td3 pas finis

td3/td3.md

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+# Récursivité
+
+## Exercice 1
+
+Formules naïves :
+
+- $x\times y = \begin{cases}
+  0 & \text{si $y=0$}\\
+  x & \text{si $y=1$}\\
+  x + (x \times (y-1)) & \text{si $y>1$}
+  \end{cases}$
+
+- $a^n = \begin{cases}
+  1 & \text{si $a=0$}\\
+  a\times a^{n-1} & \text{si $n>0$}
+  \end{cases}$
+
+Formules dichotomiques :
+
+- $x\times y = \begin{cases}
+  0 & \text{si $y=0$}\\
+  x & \text{si $y=1$}\\
+  2\times (x \times {y \over 2}) & \text{si $y>1$ et $y$ pair}\\
+  x + 2\times (x \times {y - 1 \over 2}) & \text{si $y>1$ et $y$ impair}
+  \end{cases}$
+
+- $a^n = \begin{cases}
+  1 & \text{si $a=0$}\\
+  (a^{n \over 2})^2 & \text{si $n>0$ et $n$ pair}\\
+  a\times (a^{n-1 \over 2})^2 & \text{si $n>0$ et $n$ impair}
+  \end{cases}$
+
+Les formules naïves sont de complexité $O(y)$ et $O(n)$ alors que les formules dichotomiques sont de complexité $O(\log_2(y))$ et $O(\log_2(n))$, ce qui est plus efficace.
+
+## Exercice 2
+
+$\operatorname{pgcd}(a, b) = \begin{cases}
+\operatorname{pgcd}(b, a) & \text{si $b>a$}\\
+\operatorname{pgcd}(b, a \mod b) & \text{si $a \mod b > 0$}\\
+b & \text{si $a \mod b = 0$}
+\end{cases}$
+
+## Exercice 3
+
+<!--$\operatorname{bézout}(a, b) = \begin{cases}\end{cases}$-->
+
+```ocaml
+let rec bezout a b = match a mod b with
+  | 1 -> 1, (a/b)
+  | r ->
+    let c, d = bezout b r in
+    let () = print_int c in
+    let () = print_newline () in
+    let () = print_int d in
+    let () = print_newline () in
+    c+(d*r), d
+;;
+```